Добірка задач

5 клас

1. Обчислити:   201120112011 · 2010 – 201020102010 · 2011.
А: 0            Б: 1            В: 2           Г: 3           Д: 4

Розв’язання

201120112011 · 2010 – 201020102010 · 2011 = 2011 · 2010 (100010001 - 100010001) = 0.

Відповідь. 0.

2. Скільки існує способів замінити зірочки знаками «+», «-» або «х» у рівності

2 * 0 * 1 * 1 = 1, щоб вона стала правильною?

А: 1            Б: 2            В: 3           Г: 4           Д: 5

Відповідь. 5 способів.

3. Яка перша цифра у найменшому натуральному числі, в якому сума цифр дорівнює 2011 ?

А: 1            Б: 2            В: 3           Г: 4           Д: 5

Розв’язання

У найменшому натуральному числі із сумою цифр 2011 повинно бути використано найменшу можливу кількість цифр. Ця кількість дорівнює

223 + 1 = 224 цифри (2011 : 9 = 223 (4 остача)).

Отже, шукане число складається з 223 дев’яток і 1 четвірки. Серед таких чисел найменшим є число, перша цифра якого дорівнює 4.

Відповідь. 4.

4. Один хлопчик сказав, що 1 січня 2011 року різниця між числами прожитих ним місяців і прожитих ним повних років дорівнює 111. Коли народився цей хлопчик?

Розв’язання

Нехай хлопчик прожив х років та у місяців. Тоді він прожив 12 х + у місяців, і тому 12 х + у – х = 111, тобто 11 х + у = 11 · 10 + 1.

Оскільки у < 12, то у = 1, х = 10.

Отже, хлопчик народився 1 грудня 2000 року.

Відповідь. 1 грудня 2000 року.

5. Плитка шоколаду складається з 20 х 11 квадратних частин. Плитка розламується по прямих, які ділять частини, до тих пір, поки не отримають 220 окремих частин. Скільки разів треба ламати плитку?

А: 110            Б: 119            В: 120           Г: 219           Д: 220

Розв’язання

При кожному розламуванні по прямих, які ділять частини отримають на 1 кусок більше. Тому доведеться розламувати 219 разів.

Відповідь. 219 разів.

6. Андрійко рве газету на 8 частин, після чого одну із одержаних частин рве ще на 8 частин, і т.д. Чи зможе він у такий спосіб розірвати газету на 2011 частин?

Розв’язання

Після кожного кроку число частин збільшується на 7, тобто після п кроків буде    1 + 7п частин. Рівняння 1 + 7п = 2011 цілих коренів не має (7п = 2010; а число 2010 на 7 не ділиться). Тому на зможе.        Відповідь. Ні, не зможе.

7. В ящику є 2011 червоних, зелених, жовтих і синіх кульок. В темноті хлопчик хоче вибрати з ящика 10 кульок одного кольору. Яку найменшу кількість кульок йому треба вийняти з ящика, щоб серед них було не менше 10 кульок одного кольору?

А: 36            Б: 37            В: 38           Г: 39           Д: 40

Відповідь. 37, бо 9 · 4 = 36.

8. Розглянемо число 20112011…, що складається з 2011 цифр. Трьома останніми цифрами цього числа є …

Розв’язання

У числі 20112011… можна виділити групи по 4 цифри 2011, що повторюються одна за одною. Оскільки число 2008 ділиться на 4, то на 2008-му місці буде стояти остання цифра з вказаної четвірки, тобто цифра 1, на 2009-му місці – перша цифра з цієї четвірки, тобто 2, на 2010-му місці – цифра 0, а на 2011-му місці – цифра 1. Відповідь. 201.

9. Всі натуральні числа від 1 до 1 000 000 записані підряд. Яка цифра стоїть на 2011-му місці?

А: 5            Б: 6            В: 7           Г: 8           Д: 9

Розв’язання

Одноцифрові числа займають 9 місць, двоцифрові – 90 · 2 = 180 місць, а всього разом вони займають 189 місць. Решту 2011 – 189 = 1822 місця займають цифри трицифрових чисел. Оскільки 1822 = 607 · 3 + 1, то 1822-ге місце займають цифри перших 607-и трицифрових чисел і перша цифра 607-го трицифрового числа. Але 607-е трицифрове число є 706 (607 + 99 = 706).

Отже, шукана цифра дорівнює 7.

Відповідь. 7.

10. На дошці записані числа 20 і 11. Дозволяється записувати нові числа, які дорівнюють сумі будь-яких двох наявних вже чисел. Довести, що цей спосіб побудови послідовності чисел може привести до написання числа 2011.

Розв’язання

20 · 45 + 11 · 101 = 900 + 1111 = 2011. Наведений приклад доводить дане твердження.

11. В посудині лежать 2010 білих і 2011 чорних куль. Крім того, є необмежений запас білих куль. Два гравці грають таку гру: перший гравець бере з посудини кулю, після чого другий гравець бере з посудини будь-яку з решти куль. Якщо кулі, взяті гравцями, різних кольорів, то білу кулю відкладають в сторону, а чорну повертають в посудину. В іншому випадку обидві взяті кулі відкладають в сторону, а в посудину кладуть білу кулю із запасу.

Гру закінчують тоді, коли після чергового ходу, в посудині залишиться одна куля. Якщо ця куля біла, то виграє перший гравець, якщо чорна – то другий.

Хто виграє при правильній грі?

Розв’язання

Парність кількості чорних куль в посудині після кожного ходу не змінюється. Тому остання куля завжди буде чорною.

Відповідь. Виграє другий гравець.

6 клас

1. Яке із запропонованих чисел кратне 3 ?

А: 2011        Б: 2 + 0 + 1 + 1        В: (2 + 0) · (1 + 1)        Г: 20 + 11        Д: 20 - 11

Відповідь. 20 - 11

2. До числа 2011 і справа і зліва записати одну й ту саму цифру, щоб отримане шестицифрове число ділилося націло на 3.

А: 1            Б: 3            В: 6           Г: 7           Д: 9

Розв’язання

Треба дописати цифру 1, бо 1 + 2 + 0 + 1 + 1 + 1 = 6, а 6  3.

3. Скільки існує натуральних чисел, які не перевищують 2011 і мають суму цифр, кратну 5?

Розв’язання

Серед чисел кожного десятка, який починається числом з останньою цифрою 0 і закінчується числом з останньою цифрою 9, є рівно два потрібних нам числа з сумою цифр, кратною 5: 14,  19,  23,  28,  32,  37, ... . Таких повних десятків набирається 200, і, крім того, перший десяток містить потрібне число 5, а всього чисел набирається 2·200+1=401

Відповідь. 401.

4. Яку цифру треба дописати справа до числа 2 011, щоб отримане число ділилось на 9?

Розв’язання

На 9 діляться ті числа, сума цифр яких ділиться на 9. Оскільки 2 + 0 + 1 + 1 = 4, то наступна цифра повинна бути 5, бо 4 + 5 = 9  9.

Відповідь. 5.

5. Які дві  цифри треба дописати справа до числа 2011, щоб отримане число ділилося на 101 ?

Розв’язання

Оскільки 201100 = 101∙ 1991 + 9, то 201192 ділиться на 101, і, отже до числа 2011 треба дописати цифри 9 і 2. Будь-яка інша пара цифр не буде розв’язком задачі, в супротивному випадку між числами 201100 і 201200 існували б два числа, які діляться на 101, а тоді їх різниця ділилась би на 101, чого не може бути.

Відповідь. 9 і 2.

6. Пароплави першої лінії відправляються з порту через кожні 12 днів, а другої – через 21 день. 1 січня 2011 року два пароплави обох ліній вийшли з одного й того ж порту одночасно. Знайдіть найближчий день, коли обидва пароплави знову вийдуть одночасно з порту.

Розв’язання

Знайдемо НСК (12 і 21)= 84. Через 84 дні знову пароплави вийдуть з порту одночасно. 2011 рік – не високосний. Тому лютий має 28 днів, а січень – 31 день. 84 = 31 + 28 + 25.

Отже, обидва пароплави знову одночасно вийшли з порту 25 березня 2011 року.

Відповідь. 25 березня 2011 року.

7. На дошці записані числа від 1 до 2011. Хлопчик підкреслив всі числа, які діляться на 2, потім – ті, що діляться на 3, і після того – ті, що діляться на 4. Скільки чисел хлопчик підкреслив тільки двічі?

А: 168            Б: 335            В: 503           Г: 1009           Д: 1010

Розв’язання

Якщо число ділиться на 4, то воно буде підкреслене два рази, оскільки ділиться і на 2, і на 4. З цього ряду треба викинути ті числа, які діляться на 3:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … , тобто кожне третє число.

Усіх чисел, кратних чотирьом від 1 до 2011 є 502, з них 167 ділиться і на 3. Тому залишилося 335 чисел.

Далі треба порахувати кількість таких чисел, які діляться і на 2, і на 3, тобто на 6, але лише виду 6 · (2k - 1), де k – натуральне число: 6 · 1, 6 · 3, 6 · 5, … , 6 · 335.Таких чисел є 168. Разом 335 + 168 = 503.

Відповідь. 503.

8. У скількох простих чисел, менших від 2011, сума цифр дорівнює 2?

А: 1            Б: 2            В: 3           Г: 4           Д: більше, ніж у чотирьох

Розв’язання

Випишемо всі числа, які менші від 2011, сума цифр яких дорівнює 2. Це 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, 1010, 1100, 2000. Зрозуміло, що ті серед них, у яких остання цифра рівна 0 є складеними, оскільки діляться принаймні на 2. Серед решти простими є числа 2, 11 і 101. (1001 = 7 · 143).

Відповідь. 3 числа.

9. Скількома способами можна записати число 2011 у вигляді суми двох простих чисел?

А: 0            Б: 1            В: 2           Г: 3           Д: більше 3

Розв’язання

Сума двох чисел непарна тоді, коли один з доданків парне число, а інше – непарне. Оскільки існує тільки одне парне просте число 2, то 2011 = 2 + 2009, але число 2009 складене (ділиться на 7). Тому немає жодного способу.

Відповідь. 0.

10. Петрик перемножив перші 2011 простих чисел. Скількома нулями закінчується добуток?

А: 0            Б: 1            В: 10           Г: 20           Д: 100

Розв’язання

Один нуль дістаємо, коли 2 · 5. Більше нулів немає.

Відповідь. 1.

11. Олег має 2011 однакових квадратиків. Складаючи їх сторона до сторони, він утворює суцільний прямокутник. Скільки різних прямокутників можна утворити таким чином?

А: 1            Б: 2            В: 3           Г: 4           Д: 10

Розв’язання

2011 - просте число, тому з 2011 кубиків ми можемо утворити один прямокутник розміром 1 х 2011.

Відповідь. 1.